О топологической размерности максимальных сцепленных систем

Аннотация

В работе дано определение топологической размерности dim ξ максимальных сцепленных систем (м.с.с.) замкнутых подмножеств метризуемого компакта X. По определению dim ξ, есть точная нижняя грань нижних размерностей квантования м.с.с. ξ по всем метрикам, совместимым с топологией X. Предложенное определение dim ξ мотивировано теоремой Понтрягина –Шнирельмана, характеризующей топологическую размерность метризуемого компакта как инфимум нижних емкостных размерностей этого компакта по всем совместимым метрикам. Для любого метризуемого компакта X и любой м.с.с. ξ выполняется неравенство dim ξ dimX. При этом для конечномерного метризуемого компакта X справедлива следующая теорема о промежуточных значениях размерности dim ξ: для любого целого числа k, удовлетворяющего неравенствам 0 k dimX, существует м.с.с. ξk такая, что dim ξk = k. Доказано, что для всех рассмотренных ранее м.с.с. с известными значениями размерностей квантования размерность dim ξ является целым числом. В частности, построенные по технологии Е. В. Кашубы м.с.с. ξ(A,B) всегда нульмерны в топологическом смысле.