Стратегии оптимальной остановки в игре на разорение с затратами на каждом шаге
Аннотация
Рассмотрена многошаговая игра двух лиц с конечным горизонтом, связанная с задачей о разорении. На каждом из n шагов два игрока, имеющие разный начальный капитал, разыгрывают единицустоимости. Предполагается, что иг- роки несимметричны и имеют неодинаковые шансы на победуна каждом шаге. Игрок выигрывает в данной игре, если капитал его противника закончился, то есть произошло его разорение. Выигрыши игроков определяются в конце игры. При этом в выигрыше игрока учитываются затраты размером c, которые игрок понес на каждом шаге игры. Если противник разорился на шаге τ, то игрок получает выигрыш 1 − cτ . Если в течение промежутка времени n игра не закончилась, то выигрыш равен −cn. Рассмотрены различные варианты задачи: с неограниченным капиталом у одного из игроков и неограниченным капиталом уобоих игроков. Стратегией игрока является момент остановки игры для максимизации своего ожидаемого выигрыша. Для вычисления вероятности разорения и ожидаемых выигрышей игроков используются свойства несимметричного случайного блуждания, описывающего процесс данной игры. Найдены оптимальные стратегии остановки и ожидаемые выигрыши игроков с помощью метода динамического программирования. Проведено сравнение выигрышей в задаче без возможности остановиться до конечного момента времени n и с использованием стратегии оптимальной остановки. В задаче с неограниченным капиталом уобоих игроков оптимальные стратегии остановки были найдены с помощью процедуры наилучших ответов. Проведено численное моделирование полученных результатов для различных значений параметров задачи.
Ключевые слова
Полный текст:
PDFЛитература
Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications. Vol. 1, John Wiley & Sons, Inc., New York, London, Sydney, 1968.
Shiryaev A. Probability-1. Springer New York, NY, 2016.
Song S., Song J. A Note on the History of the Gambler’s Ruin Problem //Communications for Statistical Applications and Methods. The Korean
Statistical Society. 2013. V. 20(2). P. 157–168. doi: 10.5351/csam.2013.20.2.157
Asmussen S., Albrecher H. Ruin Probabilities. World Scientific, Singapore 2010. doi: 10.1142/9789814282536
Blass A., Braun G. Random Orders and Gambler’s Ruin // The Electronic Journal of Combinatorics. 2005. V. 12, R 23. doi: 10.37236/1920
Harper J.D., Ross K.A. Stopping Strategies and Gambler’s Ruin // Mathematics
Magazine. 2005. V. 78(4), P. 255–268. doi: 10.1080/0025570X.2005.11953340
Rocha A. L., Stern F. The gambler’s ruin problem with n players and asymmetric play // Statistics and Probability Letters. 1999. V. 44 (1), P. 87–95. doi: 0.1016/s0167-7152(98)00295-8
Hussain A., Hanif M., Naseer M. Three-Player Gambler’s Ruin Problem: Some Extensions // Sci Inquiry Rev. 2021. V. 5 (3), P. 1–11. doi: 10.32350/sir/53.01
Mazalov V.V., Ivashko A.A. Harmonic Numbers in Gambler’s Ruin Problem // Mathematical Optimization Theory and Operations Research. MOTOR 2023. Lecture Notes in Computer Science. 2023. V. 13930. P. 278–287. doi: 10.1007/978-3-031-
-5_19
Mazalov V., Ivashko A. Optimal Stopping Strategies in Gambler’s Ruin Game // Mathematical Optimization Theory and Operations Research: Recent Trends. MOTOR 2024. Communications in Computer and Information Science. 2024. V. 2239. P. 237–249. doi: 10.1007/978-3-031-73365-9_16
DOI: http://dx.doi.org/10.17076/mat2090
Ссылки
- На текущий момент ссылки отсутствуют.
Это произведение доступно по лицензии Creative Commons «Attribution» («Атрибуция») 4.0 Всемирная.
© Труды КарНЦ РАН, 2014-2019