О промежуточных значениях нижней емкостной размерности

Аннотация

Термин «(би)компакт без промежуточных размерностей» был введен В. В. Федорчуком в 1973 году для обозначения компактных пространств топологической (лебеговой) размерности n, все непустые замкнутые подмножества которых либо нульмерны, либо также имеют размерность n. Емкостные размерности (верхняя dimB и нижняя dimB) метрических компактов могут принимать любое неотрицательное значение (включая бесконечность), и для них вопрос о промежуточных значениях размерности формулируется следующим образом: Пусть метрический компакт X имеет емкостную размерность (верхнюю или нижнюю), равную a. Верно ли, что для любого неотрицательного b < a в X существует замкнутое подмножество, соответствующая емкостная размерность которого равна b? Известно, что для верхней емкостной размерности этот вопрос решается положительно. Для нижней емкостной размерности автором ранее был построен пример одномерного (в смысле dimB) метрического компакта без промежуточных значений dimB. В настоящей работе доказана следующая теорема, усиливающая этот результат: Для любого положительного числа a ∞ существует метрический компакт X размерности dimB X = a, все непустые собственные замкнутые подмножества которого имеют размерность dimB, равную нулю. Таким образом, существуют метрические компакты любой наперед заданной емкостной размерности a без промежуточных значений нижней емкостной размерности. Наибольший интерес здесь представляет случай a = ∞.