Аннотация
Для емкостных размерностей (верхней и нижней) рассматривается классический вопрос теории размерности о промежуточных значениях: верно ли, что в метрическом компакте X емкостной размерности α (верхней или нижней) для любого неотрицательного числа β, не превосходящего α, существует замкнутое подмножество F, соответствующая емкостная размерность которого равна β? Для верхней емкостной размерности положительный ответ на этот вопрос получен в совместной работе автора и О. В. Фомкиной. Однако для нижней емкостной размерности в общем случае аналогичное утверждение неверно. При этом известно, что в широком классе метрических компактов существуют замкнутые подмножества с нижними емкостными размерностями всех промежуточных значений. В статье получено достаточное условие, обеспечивающее принадлежность фиксированного числа r шкале промежуточных значений нижней емкостной размерности. А именно, доказано, что если в X существует замкнутое подмножество F, верхняя емкостная размерность которого меньше r и при этом нижняя емкостная размерность любого замкнутого ε-шара F больше r, то в X найдется замкнутое подмножество, нижняя емкостная размерность которого равна r. Доказанное утверждение позволяет усилить известные результаты о промежуточных значениях нижней емкостной размерности.
Ключевые слова
метрический компакт; емкостная размерность; теорема о промежуточных значениях емкостной размерности; ε-разделенное множество
Литература
Федорчук В.В. Бикомпакты без промежуточных размерностей// Докл. АН СССР. 1973. Т. 213. No 4. С. 795 - 797.
Ivanov A.V. On quantization dimensions of idempotent probability measures// Topology and its Applications. 2022. Vol. 306. No.1. Article 107931.
doi.org/10.1016/j.topol.2021.107931
Песин Я. Б. Теория размерности и динамические системы: современный взгляд и приложения. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2013. 404 с.
Иванов А. В., Фомкина О. В. О порядке метрической аппроксимации максимальных сцепленных систем и емкостных размерностях// Труды Карельского научного центра РАН. 2019. No 7. С. 5 - 14. doi: 10.17076/mat1034
Ivanov A.V. On metric order in spaces of the form F(X)// Topology and its Applications. 2017. Vol. 221. P. 107 - 113. doi: 10.1016/j.topol.2017.02.051
