О вероятностных мерах с максимальной размерностью квантования

Аннотация

Известно, что размерность квантования вероятностной меры, заданной на метрическом компакте, не превосходит емкостной размерности ее носителя. В связи с этим естественно возникает следующий вопрос о промежуточных значениях размерностей квантования. Пусть (X,ρ) – метрический компакт емкостной размерности dim_BX=d. Верно ли, что для любого a∈[0,d] существует вероятностная мера μ с носителем supp(μ)=X, для которой размерность квантования D(μ) равна a? В заметке рассматривается частный случай этого вопроса, касающийся существования мер, размерность квантования которых принимает наибольшее возможное значение, равное dim_BX. Получена оценка нижней размерности квантования вероятностной меры μ, удовлетворяющей условию μ(B(x,ε)) ≥ cε^γ для любой точки x∈X, где c и γ --- положительные константы (теорема 1). Из этой оценки следует существование искомых мер на слабо однородных компактах. Из теоремы 1 вытекает также равенство D(μ)=dim_BX для равномерно распределенных мер (в смысле терминологии, принятой в геометрической теории меры) и вероятностных мер компактных метрических пространств Альфорса.